Question

如图，已知BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：

（1）如图①所示，求证：OB∥AC.（注意证明过程要写依据）

（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF.

（ⅰ）求∠EOC的度数；

（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；

（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA.此时∠OCA度数等于_____.（在横线上填上答案即可）

   

Answer

60°.

【解析】（1）由同旁内角互补，两直线平行即可证明；

（2）（ⅰ）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF＋∠FOCP＝（∠BOF＋∠FOA）＝∠BOA，算出结果；

（ⅱ）先得出∠OFB＝∠FOC＋∠FCO＝2∠OCB，即可得到∠OCB：∠OFB＝1：2；

（ⅲ）设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，依据∠OEB＝∠OCA，即可得到α＝β，根据∠AOB＝80°，可得α＝β＝20°，进而得出∠OCA＝2α＋β＝40°＋20°＝60°．

（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠A=∠B，

∴∠A+∠O=180°（等量代换）

∴OB∥AC（同旁内角互补，两直线平行）

（2）（ⅰ）∵∠A=∠B=100°，由（1）得∠BOA=180°﹣∠B=80°；

∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF，

∴∠EOF=∠BOF，∠FOC=∠FOA，

∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=（∠BOF+∠FOA）=∠BOA=40°.

（ⅱ）∵BC∥OA，

∴∠FCO=∠COA，

又∵∠FOC=∠AOC，

∴∠FOC=∠FCO，

∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB，

∴∠OCB：∠OFB=1：2.

（ⅲ）∵OB∥AC，

∴∠OCA=∠BOC，设∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，

∴∠OCA=∠BOC=2α+β，∠OEB=∠EOC+∠ECO=α+β+β=α+2β，

∵∠OEB=∠OCA，

∴2α+β=α+2β，

∴α=β，

∵∠AOB=80°，

∴α=β=20°，

∴∠OCA=2α+β=40°+20°=60°.

故答案是：60°.