Question

（本题满分12分）如图，直线l₁的解析表达式为：，且l₁与x轴

交于点D，直线l₂经过点A，B，直线l₁，l₂交于点C．

1.（1）求直线l₂的函数关系式；

2.（2）求△ADC的面积；

3.（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

1.设直线的函数关系式为y=kx＋b

∵当x=4时，y=0；当x=3时，y=,

∴，∴

∴直线l2的函数关系式为.

2.由y=−3x+3，令y=0，得−3x+3=0，

∴x=1，

∴D(1,0)；

由

解得

∴C(2,−3)，

∵AD=3，

∴

3.如图所示：存在；

A(4,0),C(2,−3),D(1,0)，

若以CD为对角线，

则CH=AD=3，

∴点H的坐标为：(−1,−3)；

若以AC为对角线，

则CH′=AD=3，

∴点H′(5,−3)；

若以AD为对角线，

可得H″(3,3)；

∴点H的坐标为：(3,3)(5,−3)(−1,−3).

【解析】（1）结合图形可知点和点A在坐标，故设的解析式为，由图联立方程组求出的值；
（2）已知的解析式，令求出x的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出
（3）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在3个这样的点，规律为H、C坐标之和等于A、D坐标之和，设出代入即可得出H的坐标．

(1)设直线的解析表达式为y=kx+b，

由图象知：x=4，y=0；

x=3,

∴∴，∴

∴直线l2的解析表达式为.

(2)由y=−3x+3，令y=0，得−3x+3=0，

∴x=1，

∴D(1,0)；

由

解得

∴C(2,−3)，

∵AD=3，

∴

如图所示：存在；

A(4,0),C(2,−3),D(1,0)，

若以CD为对角线，

则CH=AD=3，

∴点H的坐标为：(−1,−3)；

若以AC为对角线，

则CH′=AD=3，

∴点H′(5,−3)；

若以AD为对角线，

可得H″(3,3)；

∴点H的坐标为：(3,3)(5,−3)(−1,−3).