Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点(不与点B、C重合)，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）求证：∠ABC=∠ACB；

（2）当D在线段BC上时

①求证：△BAD≌△CAE；②当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由；

（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．（直接写出结果，无需写出求解过程 ）

Answer

(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE;(3) 20°或40°或100°.

【解析】（1）由等腰三角形的性质即可得出结论；

（2）①由∠DAE=∠BAC，得到∠BAD=∠CAE．进而得到△BAD≌△CAE；

②由等腰三角形“三线合一”的性质得到∠BAH=∠CAH．由（2）①得到∠BAH=∠CAE，则∠CAH=∠CAE．在△AHE中，由等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论．

（3）分三种情况讨论：①当点D在CB的延长线上时；②当点D在BC上时；③当点D在BC的延长线上时．

（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

（2）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，∵AB=AC， ∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE；

②当D运动到BC中点（H点）时，AC⊥DE．理由如下：

如图，∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAH=∠CAH．由（2）①得：∠BAH=∠CAE，∴∠CAH=∠CAE．∵AH=AE，∴AC⊥DE（三线合一）．

（3）20°或40°或100°．理由如下：

①当点D在CB的延长线上时．

∵CE∥AB，∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC，易证△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠AEC+∠EAC=180°－∠ACE=180°－∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°．

若△ABD中最小角是∠BAD=20°，则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°；

②当点D在BC上时．

∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=∠B=∠ACB，∴∠B=60°．

而∠ADB＞∠ACB，∴△ABD中最小角只能是∠BAD=20°，∴∠ADB=180°－∠B－∠BAD=100°；

③当点D在BC的延长线上时．

∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=∠B=∠ACB，∴∠ABC=60°，而∠BAD＞∠BAC=60°，∴△ABD中最小角只能是∠ADB=20°．

综上所述：∠ADB的度数可能是20°，40°，100°．