Question

如图，∠C=90°，AC=BC，直线经过点C,过点A、B分别作AE⊥，BF⊥，垂足分别为E、F.若AE=5，BF=8，则EF=_______．

Answer

3或13.

【解析】分两种情况讨论：①当E、F在点C的同侧，如图1，可证明△ACE≌△CBF，则该全等三角形的对应边相等AE=CF，CE=BF，结合线段间的和差关系推知：EF=BF﹣AE；

②当E、F在点C的异侧，如图2，可通过证明△ACE≌△CBF得到：AE=CF，CE=BF，结合线段间的和差关系推知：EF= BF+AE．

分两种情况讨论：①当E、F在点C的同侧，如图1．

∵∠ACB=90°，∴∠A=∠BCF（同角的余角相等）．

在△ACE与△CBF中，∵，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE=CF，CE=BF，∴EF=CE﹣CF= BF﹣AE，即EF=BF﹣AE=8－5=3．

②当E、F在点C的异侧，如图2．

∵∠ACB=∠AEC=∠BFC=α，∴∠A=∠BCF（同角的余角相等）．

在△ACE与△CBF中，∵，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE=CF，CE=BF，∴EF=CF+CE=AE+BF=5+8=13．

综上所述：EF的长为：3或13．

故答案为：3或13．