Question

教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．

例如：分解因式x²+2x-3=(x²+2x+1)-4=(x+1)²-4=(x+1)²-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；

例如求代数式2x²+4x-6的最小值，2x²+4x-6=2(x²+2x-3)=2(x+1)²-8，可知当时，有最小值，最小值是．

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

（1）分解因式：m²-4m-5=            ．                  

（2）当a，b为何值时，多项式a²+b²-4+6b+18有最小值，并求出这个最小值．

（3）当a，b为何值时，多项式a²-2ab+2b²-2a-4b+27有最小值，并求出这个最小值．

Answer

（1）(m-5)(m+1)（2）2,-3,5；（3）4，3，17.

【解析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；

（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答；

（3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答．

（1）m2﹣4m﹣5

=m2﹣4m+4﹣9

=（m﹣2）2﹣9

=（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）

=（m+1）（m﹣5）．

故答案为：（m+1）（m﹣5）；

（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18=（a﹣2）2+（b+3）2+5，

∴当a=2，b=﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；

（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27

=a2﹣2a（b+1）+（b+1）2+（b﹣3）2+17

=（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，

∴当a=4，b=3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值17．