Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（a，0）（其中a＞0），作AB∥y轴交反比例函数（k＞0，x＞0）的图象于点B．

（1）当△OAB的面积为2时，①求k的值；②若a=2，过A点作AC∥OB交（k＞0，x＞0）图象于点C，求C的横坐标；

（2）若D为射线AB上一点，连接OD交反比例函数图象于点E，DF∥x轴交反比例函数（k＞0，x＞0）的图象于点F，连接EF、EB，试猜想：的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由．

Answer

（1）①4；②点C横坐标为；（2） 不变，比值为1．

【解析】（1）①由B（a，），得到OA=a，AB=， 由S△OAB=·AB·OA=2，即可得到结论；

②过点C作CD⊥AO于点D，得到B（2，2），设AD=b，则C（2+b，），可证△OAB∽△ADC，得到，即，解方程得到b的值，从而得到点C的横坐标．

（2）不变，比值为1．设，则yOE=，由S△DBE= ，S△DEF=，代入 化简即可得到结论．

（1）①∵B（a，），∴OA=a，AB=， ∴S△OAB=·AB·OA=2，∴k=4；

②过点C作CD⊥AO于点D．

∵a=2，∴B（2，2），

设AD=b，∴C（2+b，）．

∵AC∥OB，∴∠BOA=∠CAD．

∵∠BAO=∠CDA，∴△OAB∽△ADC，

∴，∴，∴b=，解得：b=-1+（负值舍去），∴点C的横坐标=2-1+=．

（2）不变，比值为1．理由如下：

设yOE=∴．

∵S△DBE= ，S△DEF=

∴=∴=1．