Question

正方形ABCD的边长为2，过点A作射线AM与线段BD交于点M，∠BAM=α（0°＜α＜90°），作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．

（1）如图①，当0°＜α＜45°时，

     ①依题意在图①中补全图并证明：AM=CN    ②当BD∥CN，求DM的值

（2）探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明．

Answer

（1）①补图见解析，证明见解析；②；（2）①当0°＜α＜45°时，∠NCE=2∠BAM；②当45°＜α＜90°时，∠NCE+∠BAM=90°．

【解析】（1）①补全的图形即可．先证明△ABM≌△CBM得AM=MC，再根据点N与点M关于直线CE对称得CM=CN，即可得到结论；

②由平行线的性质得到∠AMD=∠ANC，又由等腰三角形的性质得到∠CMN=∠CNM，由①中△ABM≌△CBM得∠AMB=∠CMB，从而∠AMD=∠CMD，进一步得到∠CMN=∠AMD=∠CMD=60°，∠ADB=45°，过点A作AG⊥BD，根据边长为2，可以求出DM的长．

（2）分两种情况讨论：①当0°＜α＜45°时，∠NCE=2∠BAM．作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM=∠BCM，由∠ABC=∠CEA=90°，BC，AE交于一点，可得∠BAM=∠BCE，即可得到∠MCE=2∠BAM，由点N与点M关于直线CE对称，可得CN=CM，即可得到∠NCE=∠MCE，进而得出∠NCE=2∠BAM．

②当45°＜α＜90°时，．连接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM=∠DCM，再根据∠DAQ=∠ECQ，即可得到∠NCE=∠MCE=2∠DAQ，即，再根据∠BAM=∠BCM，∠BCM+∠DCM=90°，即可得到．

（1）①补全的图形如图所示．

∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，BM=BM，∴△ABM≌△CBM，∴AM=MC．

∵点N与点M关于直线CE对称，∴CM=CN，∴AM=CN；

②∵BD∥CN，∴∠AMD=∠ANC．

又∵CM=CN，∴∠CMN=∠CNM，由①中△ABM≌△CBM得∠AMB=∠CMB，∴∠AMD=∠CMD，∴∠CMN=∠AMD=∠CMD=60°，∠ADB=45°．

过点A作AG⊥BD．

∵AD=2，∠ADG=45°，∴AG=DG=．

∵∠AMD=60°，∴∠MAG=30°，∴MG=，∴DM=．

（2）①当0°＜α＜45°时，∠NCE=2∠BAM．

如图1，连接MC，∵△ABM≌△CBM，∴∠BAM=∠BCM，∵∠ABC=∠CEA=90°，BC，AE交于一点，∴∠BAM=∠BCE，∴∠MCE=2∠BAM，由点N与点M关于直线CE对称，可得CN=CM，∴∠NCE=∠MCE，∴∠NCE=2∠BAM．

②当45°＜α＜90°时，∠NCE+∠BAM=90°．

如图，连接CM，∵AD=CD，∠ADM=∠CDM，DM=DM，∴△ADM≌△CDM，∴∠DAM=∠DCM．

∵∠ADQ=∠CEQ=90°，∠AQD=∠CQE，∴∠DAQ=∠ECQ，∴∠NCE=∠MCE=2∠DAQ，∴∠DCM=∠NCE．

∵∠BAM=∠BCM，∠BCM+∠DCM=90°，∴∠NCE+∠BAM=90°．