Question

如图，已知抛物线(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.

（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）点H的坐标为（1，）；（3）当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似.

【解析】

（1）把点（2，2）代入中，解出m的值即可得到抛物线的解析式；

（2）由（1）中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，点A、B关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H，根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标；

（3）由解析式可得点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB和∠ABM是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.

（1）把点（2，2）代入抛物线，

得2=.

解得m=4.

∴抛物线的解析式为.

（2）令，解得.

则A（-2，0），B（4，0）.

对称轴x=-.

∵ 中当x=0时，y=2，

∴点C的坐标为（0，2）.

∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，

∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH的值最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，

∴直线BC的解析式为y=.

∵当x=1时，y==.

∴点H的坐标为（1，）.

（3）假设存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似.

如下图，连接AC，BC，AM，BM，过点M作MN⊥x轴于点N，

由图易知，∠ACB和∠ABM为钝角，

①当△ACB∽△ABM时，有=，即.

∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，

∴∠CAB=∠BAM=.

∵MN⊥x轴，∴∠BAM=∠AMN=45°，

∴AN=MN.

∴可设M的坐标为：（x，-x-2）（x＞0），

把点M的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=.

化简整理得：x=2m，

∴点M的坐标为：（2m，-2m-2）.

∴AM=.

∵，AC=，AB=m+2，

∴.

解得：m=.

∵m＞0，

∴m=.

②当△ACB∽△MBA时，有=，即.

∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=，

∴△ANM∽△BOC，∴=.

∵BO=m，设ON=x，

∴=，即MN=（x+2）.

令M（x，）（x＞0），

把M点的坐标代入抛物线的解析式，

得=.

解得x=m+2.即M（m+2，）.

∵，CB=，MN=，

∴.

化简整理，得16=0，显然不成立.

综上所述，当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似.