Question

模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题.

      

如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．

请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．

（1）理由：如图③，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，

∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，

∴CB=_______，C′B=_______.

∴AC+CB=AC+CB′=_______．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB最小.

归纳小结：

本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．

本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．

（2）模型应用

①如图 ④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点，求EF+FB的最小值.

解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是_______．

     

②如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是_______；

③如图⑥，一次函数y=-2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．

Answer

（1）CB'、C'B'、AB'；（2）①；②；③，P（0，1）.

【解析】

（1）根据轴对称的性质进行分析解答即可；

（2）①由题中所给知识可知，EF+FB的最小值就是DE的长度，这样由已知条件在Rt△ADE中求出DE的长度即可；②作点B关于CD的对称点B′，连接OB、OB′，AB′，则线段AB′的长度就是所求的AP+BP的最小值，结合已知条件证得∠AOB′=90°，在Rt△AOB′中求出AB′的长即可；③由已知条件先求出点A、B的坐标，进而求出点C、D的坐标，再求出点C关于y轴的对称点C′的坐标，连接C′D交y轴于点P，则点P为所求点，C′D的长度为所求的CP+DP的最小值，结合已知条件求出CD的长度和点P的坐标即可.

（1）理由：如图③，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，

∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，

∴CB=CB′，C′B=C′B′.

∴AC+CB=AC+CB′=AB′．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，

∴AC+CB＜AC′+C′B′，即此时AC+CB最小，

故答案为：CB'，C'B'，AB'；

（2）①如图④由题意可知：AE=1，AD=2，∠DAE=90°，

∴在Rt△ADE中，DE=；

②如图7，作点B关于CD的对称点B′，连接OB、OB′，AB′，则线段AB′的长度就是所求的AP+BP的最小值，

∵点D是的中点，∠AOD=60°，

∴∠BOD=30°，

∵点B′和点B关于CD对称，

∴∠BOB′=∠BOD=30°，

∴∠AOB=60°+30°=90°，

∵AO=BO=CD=2，

∴AB′=，即AP+BP的最小值为；

③如图8，作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线段C′D的长度.

∵一次函数y=-2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，

∴A（2，0），B（0，4），

∵点C和点D分别是OA和AB的中点，

∴C（1，0），D（1，2）.

∵C与C′关于y轴对称，

∴C′（-1，0），

∴C'D=，

∴PC+PD的最小值为.

∵C'（-1，0），D（1，2），

∴直线C′D的解析式为y=x+1，

∵在y=x+1中，当x=0时，y=1，

∴点P的坐标为（0，1）．