Question

如图，点A（-2，n），B（1，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）若C是x轴上一动点，设t=CB-CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．

Answer

（1） ；y=-x-1；（2） ；C（-5，0）.

【解析】

（1）将点B的坐标代入中求得m的值即可得到反比例函数的解析式，再将点A（-2，n）代入所得反比例函数的解析式求得n的值即可得到点A的坐标，然后将A、B两点的坐标代入一次函数的解析式列出关于k、b的方程组，解方程组求得k、b的值即可得到一次函数的解析式；

（2）如下图，作出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′并延长交x轴于点C，则此时的点C为所求点，由已知条件求得直线BA′的解析式，即可由所得解析式求得点C的坐标，然后由t=CB-CA=CB-CA′即可求得所求的t的值.

（1）∵点B（1，-2）在反比例函数的图象上，

∴m=-2，

∴反比例函数解析式为.

∵点A（-2，n）在反比例函数的图象上，

∴n=1，

∴A（-2，1）.

由题意知 ，解得： ，

故一次函数的解析式为y=-x-1；

（2）如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′并延长交x轴于点C，则点C为所求点，

∵A（-2，1），

∴A′（-2，-1）.

设直线A′B的解析式为y=mx+n，

则 ，解得： ，

故直线A′B的解析式为

在 中，令y=0，解得x=-5，则C点坐标为（-5，0），

∴BC=，A′C=，

∴此时t=CB-CA有最大值，且t最大=CB-CA′=A′B=．