Question

如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过点G作GE⊥AD于点E.若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论：①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S_{四边形BFOC}=.其中正确的有（    ） 

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】

根据“菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和直角三角形的相关性质”结合“已知条件”进行分析解答即可.

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，

∵∠1=∠2，

∴∠GAD=∠2，

∴AG=GD，

∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD，

∴AE=ED，

∵F为边AB的中点，

∴AF=AE，

在△AFG和△AEG中， ，

∴△AFG≌△AEG（SAS），

∴∠AFG=∠AEG=90°，

∴DF⊥AB，故结论①正确；
（2）如图1，连接BD交AC于点O，

∵DF⊥AB，F为边AB的中点，

∴AF=AB=1，AD=BD，

又∵菱形ABCD中，AB=AD，

∴AD=BD=AB，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠BAD=∠BCD=60°，

∴∠BAC=∠1=∠2=30°，

∴AC=2AO=2AB•cos∠BAC=2×2×，AG=，

∴CG=AC-AG=，

∴CG=2GA，故②中结论正确；

（3）∵GE垂直平分AD，

∴ED=AD=1，

∴GE=tan∠2•ED=tan30°×1=，

∵在Rt△ADF中，AD=2，AF=1，

∴DF=，

∴DF+GE=，

又∵CG=，

∴CG=DF+GE，故③中结论正确；

（4）∵在Rt△AOB中，∠BAC=30°，∠BOA=90°，AB=2，

∴BO=AB=1，

∵在Rt△AFG中，∠FAG=30°，∠GFA=90°，

∴FG=AF·tan30°=，

∴S四边形BFGC=S△ABC-S△AGF

=AC·OB-AF·FG

=

=.

∴④中结论不正确；

综上所述，上述4个结论中正确的有3个.
故选：D．