Question

如图，等边三角形ABC中，AB= ,AH⊥BC于点H，过点B作BD⊥AB交线段AH的延

长线于点D，连结CD. 点E为线段AD上一点(不与点A，D重合)，过点E作EF∥AB交BC于点

F，以EF为直径作⊙O. 设AE的长为.

（1）求线段CD的长度.

（2）当点E在线段AH上时，用含x的代数式表示EF的长度.

（3） 当⊙O与四边形ABDC的一边所在直线相切时，求所有满足条件的的值.

Answer

(1)2;(2) ;(3) 或或 ;

【解析】（1）根据等边三角形的性质可知，容易证明≌,

（2）

根据EF∥AB， 即得到.

(3)分① 当⊙O与AC相切于点M时，②当⊙O与AB相切于点P时，③ 当⊙O与CD相切于点K时，三种情况进行讨论即可.

（1）根据等边三角形的性质可知，

容易证明≌,

（2）

根据EF∥AB，

即

得到.

（3） ① 当⊙O与AC相切于点M时，如图①.

,

,

②当⊙O与AB相切于点P时，如图②.

,

, .

③ 当⊙O与CD相切于点K时，如图③.

连结HO.

∵ ∠OHE+∠CDH=30°+60°=90°

∴ HO⊥CD

∵ OK⊥CD

∴ 点H,O,K三点共线.

,

,

综上所述，x的值为或或.