如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边...

如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= ，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．

（1）直接用含t的代数式表示BQ、DF；

（2）当0＜t＜1时，求矩形DEGF的最大面积；

（3）点Q在整个运动过程中，当矩形DEGF为正方形时，求t的值．

（1）BQ=5t，DF=t;（2）;（3）t的值为或3．【解析】试题（1）AB与OD交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD的长，即可表示出FD；（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解；（3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1），；（2）DE=OD-OE=t+1-t=1-t，，∴当t=时，矩形DEGF的最大面积为；（3）当矩形DEGF为正方形时，,解得.

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考点分析：

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如图，点A（－10，0），B（－6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°．点P从点Q（8，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒．