Question

如图，点A（－10，0），B（－6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°．点P从点Q（8，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒．

（1）求点C的坐标．

（2）当∠BCP＝15°时，求t的值．

（3）以PC为直径作圆，当该圆与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer

（1）C（0,6）；（2）8+2或8+6；（3）2或8或17．1

【解析】试题（1）由点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，易得∠BCO=∠CBO=45°，则可求得OC=OB=6，即可求得答案；

（2）分别从当点P在点B右侧与左侧时去分析求解，借助于三角函数的知识，即可求得答案；

（3）分别从当⊙P与BC相切于点C时，则∠BCP=90°，当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，当⊙P与AD相切时，由题意得：∠DAO=90°，去分析求解即可求得答案．

【解析】
（1）∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，

∴∠BCO=∠CBO=45°，

∵B（﹣6，0），

∴OC=OB=6，

又∵点C在y轴的正半轴上，

∴C（0，6）；

（2）①当点P在点B右侧时，

∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，

∴∠POC=30°，

∴OP=OC•tan∠POC=6×=2，

∴t1=8+2，

②当点P在点B左侧时，

∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，

∴∠POC=60°，

∴OP=OC•tan∠POC=6×=6，

∴t2=8+6，

综上所述：t的值为8+2或8+6．

（3）由题意知：若⊙P与四边形ABCD的边都相切，有以下三种情况：

①当⊙P与BC相切于点C时，则∠BCP=90°，

∵∠OCB=45°，

∴∠OCP=45°，

∴OP=OB=6，

此时t1=8﹣6=2；

②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，

此时t2=8；

③当⊙P与AD相切时，由题意得：∠DAO=90°，

∴点A为切点，

设OP=x，则PA=PC=10﹣x，

∴62+x2=（10﹣x）2，

∴x=3.2，

∴OP=3.2，

∴t3=8+3.2=11.2；

综上所述：t的值为2或8或11.2．