Question

如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．

（1）求证：DA=DE；

（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）连接OE，BE，根据已知条件证明CD为⊙O的切线，然后再根据切线长定理即可证明DA=DE；

（2） 如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，根据S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE，利用分割法即可求得阴影部分的面积．

（1）如图，连接OE、BE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB．

∵BC=EC，

∴∠CBE=∠CEB，

∴∠OBC=∠OEC．

∵BC为⊙O的切线，

∴∠OEC=∠OBC=90°；

∵OE为半径，

∴CD为⊙O的切线，

∵AD切⊙O于点A，

∴DA=DE；

（2）如图，连接OC，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，

∴AD=BF，DF=AB=6，

∴DC=BC+AD=4，

∵CF==2，

∴BC﹣AD=2，

∴BC=3，

在直角△OBC中，tan∠BOC==，

∴∠BOC=60°．

在△OEC与△OBC中，

，

∴△OEC≌△OBC（SSS），

∴∠BOE=2∠BOC=120°，

∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π．