Question

如图，BM、CN是△ABC的高，点P在线段BM上，点Q在线段CN的延长线上，且BP=AC，CQ=AB.

(1)猜想AQ与AP的大小关系，并说明理由：

(2)判断AQ与AP有何特殊位置关系？并说明理由．

Answer

（1）AQ =AP（2）AQ⊥AP

【解析】（1）AQ =AP．理由如下：先求出∠ABP =∠ACQ，再利用SAS证明△ABP ≌△QCA，然后利用全等三角形的对应边相等即可得AQ =AP；

（2）AQ⊥AP．理由如下：设AP与QC相交于点F，由△ABP ≌△QCA，可得∠Q =∠BAP，继而可得到∠FAQ =90°，即可得.

（1）AQ =AP，理由如下：

因为BM、CN是△ABC的高，

所以∠ANC =∠AMB =90°，

所以∠ABP +∠BAC =∠ACQ +∠BAC，

所以∠ABP =∠ACQ，

在△ABP和△QCA中，

，

所以△ABP ≌△QCA（SAS），

所以AQ =AP；

（2）AQ⊥AP，理由如下：

如图，设AP与QC相交于点F，

因为△ABP ≌△QCA，

所以∠Q =∠BAP；

又因为∠BAP＋∠AFN =90°，

所以∠Q＋∠AFN =90°，

所以∠FAQ =90°，

所以AQ⊥AP．