Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8,点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C＇.

（1）若点C＇刚好落在对角线BD上时，BC＇=         ；

（2）当BC＇∥DE时，求CE的长；（写出计算过程）

（3）若点C＇刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长.

Answer

（1）4（2）4（3）CE的长为或

【解析】（1）根据∠C=90°，BC=8，可得Rt△BCD中，BD=10，据此可得BC′=10-6=4；

（2）由折叠得，∠CED=∠C′ED，根据BC′∥DE，可得∠EC′B=∠C′ED，∠CED=∠C′BE，进而得到∠EC′B=∠C′EB，据此可得BE=C′E=EC=4；

（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时；②当点C′在矩形外部时，分别根据勾股定理，列出关于x的方程进行求解即可．

（1）如图1，由折叠可得DC'=DC=6，

∵∠C=90°，BC=8，

∴Rt△BCD中，BD=10，

∴BC′=10-6=4，

故答案为4；

（2）如图2，由折叠得，∠CED=∠C′ED，

∵BC′∥DE，

∴∠EC′B=∠C′ED，∠CED=∠C′BE，

∴∠EC′B=∠C′EB，

∴BE=C′E=EC=4；

（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：

①两点C’在矩形内部时，如图3，

∵点C’在AD的垂直平分线上，

∴DM=4.

∵DC’=DC=6,

∴由勾股定理，得，

，

设则，

，

，

解得，即；

②当点在矩形外部时，如图4，

∵点在AD的垂直平分线上，

∴DM=4，

，

∴由勾股定理，得，

，

设则，

，

，

解得，即 ，

综上所述，CE的长为或.