Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF。

（1）求证：D是BC的中点

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

Answer

（1）证明见解析；（2）当AB=AC时，四边形AFBD是矩形，证明见解析.

【解析】

试题（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；

（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴BD=CD，

∴D是BC的中点；

（2）四边形AFBD是矩形．

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴▱AFBD是矩形．