Question

如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，．

(1)求点的坐标；

(2)把矩形沿直线对折，使点落在点处，折痕分别与、、相交于点、、，求直线的解析式；

(3)若点在直线上，平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） ；（2） ；（3）存在符合条件的点共有4个，分别为

【解析】

（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则B的坐标即可得到；

（2）分别求出D点和E点坐标，即可求得DE的解析式；

（3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得N的坐标．

（1）在直角△OAC中，tan∠ACO=，

∴设OA=x，则OC=3x，

根据勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，

即9x2+3x2=576，

解得：x=4．

则C的坐标是：（12，0），B的坐标是（）；

（2）由折叠可知 ，

∵四边形是矩形，

∴∥，

∴，

∴=，

∴

设直线的解析式为，则，

解得 ；

∴.

（3）∵OF为Rt△AOC斜边上的中线，

∴OF=AC=12，

∵ ，

∴tan∠EDC=

∴DE与x轴夹角是60°，

当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM，

∴∠NOC=60°或120°．

当∠NOC=60°时，过N作NG⊥y轴，

∴NG=ON•sin30°=12×=6，OG=ON•cos30°=12×=6，

此时N的坐标是（6，6）；

当∠NOC=120°时，与当∠NOC=60°时关于原点对称，则坐标是（-6，-6）；

当OF是对角线时（如图2），MN关于OF对称，

∵F的坐标是（6，6），

∴∠FOD=∠NOF=30°，

在直角△ONH中，OH=OF=6，ON=．

作NL⊥y轴于点L．

在直角△ONL中，∠NOL=30°，

∴NL=ON=，OL=ON•cos30°=×=6．

此时N的坐标是（，6）．

当DE与y轴的交点时M，这个时候N在第四象限，

此时点N的坐标为：（6，-6）．

则N的坐标是：（6，-6）或（6，6）或（-6，-6）或（2，6）．