Question

如图(甲)，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．

(1)求证:；

(2)在如图(甲)中，若在上，且，则成立吗？

证明你的结论．(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题:

如图(乙)四边形中，∥(＞)，，,点是上一点，且，，求的长．

Answer

（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5

【解析】（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF；

（2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；

（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长.

（1）在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，

∴∠CDF=∠B=90°．

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD成立．理由如下：

∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠GCD=45°．

∵△BCE≌△DCF（已证），

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．

∴∠ECG=∠FCG=45°．

在△ECG和△FCG中，

，

∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=FG．

∵FG=GD+DF，

∴GE=BE+GD．

（3）①如图2，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，

由（2）和题设知：DE=DG+BE，

设DG=x，则AD=6-x，DE=x+3，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，

∴（6-x）2+32=（x+3）2，

解得x=2．

∴DE=2+3=5.