Question

如图，正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF平分BAC，DHAF于点H，交AC于G，DH延长线交AB于点E，求证：BE=2OG.

Answer

证明见解析.

【解析】作OM∥AB交DE于M．首先证明OM是△DEB的中位线，再根据等角对等边证明OG=OM即可解决问题．

作OM∥AB交DE于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OD，

∵OM∥BE，

∴EM=DM，

∴BE=2OM，

∵∠OAD=∠ADO=∠BAC=45°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠EAH=22.5°，

∵AF⊥DE，

∴∠AHE=∠AHD=90°，

∴∠AEH=67.5°，

∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠ADE=22.5°，

∴∠OGD=∠GAD+∠ADE=67.5°，

∵∠AEH=∠OME=67.5°，

∴∠OGM=∠OMG，

∴OG=OM，

∴BE=2OG．