Question

已知关于的方程x²-(2k+1)x+4k-2=0

（1）求证：不论k取何值，这个方程总有实数根

（2）若等腰△ABC一边长a=4，另两边长b，c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长.

Answer

（1）证明见解析；（2）10.

【解析】(1)根据方程各项的系数利用根的判别式即可得出∆=（2k-3）2≥0,此题得证; 

(2)当a为底时，则b、c为腰，根据两根相等得出k的值；当a为腰时，则b、c中有一个的值也等于4，将其代入方程求出k的值;再根据根与系数的关系求出a+b的值，进而可求出三角形的周长.

（1）证明：∵在方程x2-（2k+1）x+4k-2=0中，

△=[-（2k+1）]2-4（4k-2）=4k2-12k+9=（2k-3）2≥0，

∴不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）【解析】
当a为底边时，b=c，

∴△=（2k-3）2=0，解得：k=，

∴b+c=2k+1=4=a，

∴此种情况不合适；

当a为腰时，将x=4代入原方程得：16-4（2k+1）+4k-2=0，

解得：k=．

∴b+c=2k+1=6，

∴△ABC的周长=a+b+c=4+6=10．