Question

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，AB=5，AC=6，过D点作DE//AC交BC的延长线于E点

（1）求△BDE的周长

（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q，求证：BP=DQ

Answer

（1）24；（2）证明见解析.

【解析】(1)因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB，然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE的周长；

(2)容易证明△BOP≌△DOQ，再利用它们对应边相等就可以了．

（1）【解析】
∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=3，

∴OB==4，BD=2OB=8，

∵AD∥CE，AC∥DE，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴CE=AD=BC=5，DE=AC=6，

∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE=8+10+6=24．

（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠QDO=∠PBO，

∵在△DOQ和△BOP中

，

∴△DOQ≌△BOP（ASA），

∴BP=DQ．