Question

如图，在矩形ABCD中 ,AB=4，BC=8，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当四边形APQE周长最小时，BP的长为（  ）

A. 1    B. 2    C. 2    D. 4

Answer

D

【解析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度．

如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，

∴∠GEH=45°．

设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，

在△CQE中，

∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，

∴CQ=EC，

∴6-x=2，

解得x=4．

故选D.