Question

某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．

（1）求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)．

（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？

(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)

Answer

（1）两渔船M，N之间的距离约为20米；（2）施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．

【解析】

试题(1)在直角△PEN，利用三角函数即可求得ME的长，根据MN=EM﹣EN求解； 
(2)过点D作DN⊥AH于点N，利用三角函数求得AN和AH的长，进而求得△ADH的面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20天完成，列方程求解.

试题解析：(1)由题意得∠E＝90°，∠PME＝α＝31°，∠PNE＝β＝45°，PE＝30米．

在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，

在Rt△PEM中，tan 31°＝，∴ME≈＝50(米)．

∴MN＝EM－EN≈50－30＝20(米)．

答：两渔船M，N之间的距离约为20米．

(2)如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米．

∵背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，∴DG∶AG＝1∶0.25，

∴AG＝24×0.25＝6(米)．

∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，

∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42(米)．

∴AH＝GH－GA＝42－6＝36(米)．

∴S△ADH＝AH·DG＝×36×24＝432(平方米)．

∴需要填筑的土石方为432×100＝43 200(立方米)．

设施工队原计划平均每天填筑土石方x立方米，

根据题意，得10＋＝－20.

解方程，得x＝864.

经检验：x＝864是原方程的根且符合题意．

答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．