Question

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如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.

如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB.

(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；

(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.

Answer

(1)证明见解析；(2) 四边形的面积为.

【解析】（1）根据尺规作图可知AF平分∠BAC，再根据DF//AC，可得AD=DF，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，继而可得平行四边形AEFD是菱形，根据“亲密菱形”的定义即可得证；

（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，可证得△BDF∽△BAC，根据相似三角形的性质可求得a=4，过D作DG⊥AC，垂足为G，在Rt△ADG中， DG=2，继而可求得面积.

（1）由尺规作图可知AF平分∠BAC，

∴∠DAF=∠EAF，

∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，

∵FD//AC，FE//AB，∴四边形AEFD是平行四边形，

∴平行四边形AEFD是菱形，

∵∠BAC与∠DAE重合，点F点BC上，

∴菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；

（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，

∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，

∴BD：BA=BF：AC，

即（6-a）:6=a：12，

∴a=4，

过D作DG⊥AC，垂足为G，

在Rt△ADG中，∠DAG=45°，∴DG=AD=2，

∴S菱形AEFD=AE•DG=8，

即四边形AEFD的面积为8.