Question

如图，抛物线y=ax²+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；

（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．

Answer

（1）；（2）t＞4；（3）∠BOC=60°，C（，）

【解析】

（1）将已知点坐标代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；

（2）利用抛物线增减性可解问题；

（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，），点B（3，﹣）求出相关角度．

（1）把点A（1，），点B（3，﹣）分别代入y=ax2+bx得

，解得

∴y=﹣

（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=，

当x＞时，y随x的增大而减小，

∴当t＞4时，n＜m．

（3）如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E

∵AC≥AD，BC≥BE，

∴AD+BE≤AC+BE=AB，

∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．

∵A（1，），点B（3，﹣），

∴∠AOF=60°，∠BOF=30°，

∴∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°．

当OC⊥AB时，∠BOC=60°，点C坐标为（，）．