Question

如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点.点是直线上方的抛物线上一动点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，，并把沿轴翻折，得到四边形.若四边形为菱形，请求出此时点的坐标；

（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.

Answer

（1）该二次函数的表达式为；（2）点P的坐标为（，）；（3）P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

【解答】（1）将点B和点C的坐标代入,

得 ，解得，．

∴ 该二次函数的表达式为．

（2）若四边形POP′C是菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上；

如图，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵ C（0，3），

∴ E（0，）,

∴ 点P的纵坐标等于．

∴ ,

解得，（不合题意，舍去），

∴ 点P的坐标为（，）．

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，

设P（m，），设直线BC的表达式为，

则 , 解得 .

∴直线BC的表达式为 ．

∴Q点的坐标为（m，），

∴.

当，

解得，

∴ AO=1，AB=4，

∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ

=

=

=．

当时，四边形ABPC的面积最大．

此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．