Question

如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且.

（1）求证：；

（2）当，时，求的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）连接OE,BE．证明OE∥BC. OE⊥AC．根据平行线的性质得到BC⊥AC,即可证明；

（2）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，，求得AB=5．在Rt △AOE中，,．．

【解答】（1）证明：连接OE,BE．

∵ DE=EF，

∴ =,

∴

∵

∴

∴

∴OE∥BC.

∵⊙O与边AC相切于点E，

∴ OE⊥AC．

∴BC⊥AC,

∴∠C=90°.

（2）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，，

∴AB=5．

设⊙O的半径为r，则

在Rt △AOE中，,

∴ ．

∴．