Question

已知：正方形ABCD的边长为厘米，对角线AC上的两个动点E,F，点E从点A、点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为，AE，EB，BA围成的图形面积为（这里规定：线段的面积为）．E到达C,F到达A停止．若E的运动时间为x秒，解答下列问题：

（1）如图①，判断四边形EFGH是什么四边形，并证明；

（2）当0<x<8时，求x为何值时，；

（3）若是的和，试用x的代数式表示y．（图②为备用图）

Answer

（1）四边形EFGH是矩形，证明见解析；（2）6；（3）

【解析】(1)、首先根据动点E、F的运动速度与运动时间均相同得出AE=CF，再由正方形的性质及已知EH⊥AC，FG⊥AC得出△CGF与△AHE都是等腰直角三角形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论；(2)、首先由勾股定理求出正方形ABCD的对角线长为16．再连接BD交AC于O，则BO=8．然后用含x的代数式分别表示S1，S2，当S1=S2时得出关于x的方程，解方程即可；(3)、因为当x=8时，点E与点F重合，此时S1=0，y=S2．故应分0≤x＜8与8≤x≤16两种情况讨论．

(1)、四边形EFGH是矩形，

证明：∵E、F运动时间相同，∴AE=CF，∵⊥，⊥，∴EH//FG ，

∵ABCD为正方形，∴AD=DC，∠D=900，∴∠GCF=∠HAE=450，

又⊥，⊥，∴∠CGF=∠AHE=450，∴∠GCF=∠CGF，∠HAE=∠AHE

∴AE=EH，CF=FG，∴EH=FG ，∴四边形EFGH是平行四边形，

∵⊥，∴四边形EFGH是矩形．

(2)、正方形边长为，．

，过作于，则．，

，，．

当时，．解得（舍去），． 当时，．

(3)、①当时，．

②当时，，，．

． ．