Question

如图，等腰直角三角形的直角顶点在第一象限，顶点、分别在函数图像的两个分支上，且经过原点，与轴相交于点，连接，已知平分四边形的面积.

(1)证明::

(2)求点的坐标.

Answer

(1)见解析 (2) A（-2，4）

【解析】（1）根据反比例函数图象的对称性和三角线的面积公式得到S△ABD=2S△ACD．即BD=2CD；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x于F，连接OC，构建全等三角形△OBE≌△COF，结合该全等三角形的对应边相等得到：BE=OF，OE=CF，由==2推知BE=2OE．设OE=a，则BE=2a，所以B（a，﹣2a），根据反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象的对称性来求点A的坐标即可．

（1）∵函数y=﹣图象关于原点对称，∴OA=OB，∴S△AOD=S△BOD．

∵AD平分四边形AODC的面积，∴S△AOD=S△ACD，∴S△ABD=2S△ACD，∴BD=2CD；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x于F，连接OC，则∠BEO=∠OFC=90°．

∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB，∴∠BOC=90°，OC=AB=OB，∴∠BOE+∠COF=90°，而∠BOE+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠COF．

∵在△OBE与△COF中，，∴△OBE≌△COF（AAS），∴BE=OF，OE=CF．

∵∠OBE=∠COF，∴cos∠OBE=cos∠COF，∴=．

∵==2，∴BE=2CF，∴BE=2OE．

设OE=a，则BE=2a，∴B（a，﹣2a），∴a•（﹣2a）=﹣8，解得：a=2，∴B（2，﹣4），∴A（﹣2，4）．