Question

如图1，已知直线y=3x分别与双曲线y=、y=（x＞0）交于P、Q两点，且OP=2OQ．

（1）求k的值．

（2）如图2，若点A是双曲线y= 上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交双曲线y=（x＞0）于点B、C，连接BC．请你探索在点A运动过程中，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若改变，请说明理由；           

（3）如图3，若点D是直线y=3x上的一点，请你进一步探索在点A运动过程中，以点A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．       

          

Answer

（1）P（2,6） Q(1,3)，k=3；（2）在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于．

（3）当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2，）或（2，6）或（，6）．

【解析】（1）先求出点P的坐标，再从条件OP=2OQ出发，构造相似三角形，求出Q点坐标，就可以求出k的值.

（2）设点A点的坐标为（a,b），易得b=，结合条件可用a的代数式表示点B，点C的坐标，进而表示出线段AB，AC的长，就可算出△BAC的面积是一个定值.

（3）以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形可分成两类：①AC为平行四边形的一边，②AC为平行四边形的对角线；然后利用平行四边形的性质建立关于a的方程，即可求出a的值，从而求出点A的坐标.

（1）P（2,6） Q(1,3)，k=3.

（2）如图2，

∴S△ABC=AB•AC=××.

∴在点A运动过程中，△ABC的面积不变，始终等于．

（3）①AC为平行四边形的一边，

Ⅰ．当点B在点Q的右边时，如图3，

∵四边形ACBD是平行四边形，∴AC∥BD，AC=BD．∴xD=xB=．

∴yD=3xD=．∴DB=.

∵AC=，∴=．解得：a=±2．

经检验：a=±2是该方程的解．∵a＞0，∴a=2．∴b=.

∴点A的坐标为（2，）．

Ⅱ．当点B在点Q的左边且点C在点Q的右边时，如图4，

∵四边形ACDB是平行四边形，∴AC∥BD，AC=BD．

∴xD=xB=．∴yD=3xD=．∴DB=.

∵AC=，∴=，解得：a=±2．

经检验：a=±2是该方程的解．

∵a＞0，∴a=2．∴b==6．

∴点A的坐标为（2，6）．

②AC为平行四边形的对角线，

此时点B、点C都在点Q的左边，如图5，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．∴yD=yC=．∴xD=．

∴CD=﹣a．∵AB=a﹣，∴=﹣a．

解得：a=±．

经检验：a=±是该方程的解．

∵a＞0，∴a=．∴b==6．

∴点A的坐标为（，6）．

综上所述：当点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形时，此时点A的坐标为（2，）或（2，6）或（，6）．