Question

在平面直角坐标系中，对于任意一点P（x，y），我们做以下规定：d（P）=|x|+|y|，称d（P）为点P的坐标距离．

（1）已知：点P（3，﹣4），求点P的坐标距离d（P）的值．

（2）如图，四边形OABC为正方形，且点A、B在第一象限，点C在第四象限．

①求证：d（A）=d（C）．

②若OC=2，且满足d（A）+d（C）=d（B）+2，求点B坐标．

Answer

（1）7；（2）①见解析，②如图1所示，B（1+，﹣1）．

【解析】

（1）根据d（P）=|x|+|y|，即可求得点P的坐标距离d（A）；
（2）①证明：如图1，过点A作AE⊥y轴于E，作CF⊥y轴于F，则∠CFO=∠OEA=90°，设A（b，a），C（n，m），则|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，根据相似三角形的性质得到=1，求得=1，于是得到=1，即可得到结论；
②如图1所示，过点B作BG⊥CF，交FC的延长线于G，交x轴于H，则GF=OH，GH=OF，∠G=∠AEO=90°，根据余角的性质得到∠BCG=∠COF，根据全等三角形的性质得到OE=BG，AE=CG，由图可得，d（A）=OE+AE，d（C）=OF+CF，d（B）=BH+OH=BH+GF，根据已知条件得到OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，求得OF=1，解直角三角形得到CF=，由于=1，求得BG=，CG=1，于是得到结论．

（1）∵点P（3，﹣4），

∴点A的坐标距离d（P）=|3|+|﹣4|=3+4=7；

（2）①证明：如图1,过点A作AE⊥y轴于E,作CF⊥y轴于F,

则∠CFO=∠OEA=90°，

设A(b,a),C(n,m)，则|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，

∵在正方形ABCO中,∠AOC=90°，

∴∠AOE+∠COF=90°，

又∵∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠COF=∠OAE，

∴△CFO∽△OEA，

∴=1，

∴=1,即=1，

即|a|+|b|=|m|+|n|，

∴d(A)=d(C)；

②如图1所示,过点B作BG⊥CF,交FC的延长线于G,交x轴于H,

则GF=OH,GH=OF,∠G=∠AEO=90°，

∵∠BCO=90°=∠CFO，

∴∠BCG+∠FCO=∠COF+∠FCO=90°，

∴∠BCG=∠COF，

∵∠COF=∠OAE，

∴∠BCG=∠OAE，

∵四边形ABCO是正方形，

∴CB=AO，

在△BCG和△OAE中,∠BCG=∠OAE；∠G=∠AEO；BC=AO，

∴△BCG≌△OAE(AAS)，

∴OE=BG，AE=CG，

由图可得,d(A)=OE+AE,d(C)=OF+CF,d(B)=BH+OH=BH+GF，

∵d(A)+d(C)=d(B)+2，

∴OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，

又∵BH=BG−GH=OE−OF，GF=CG+CF=AE+CF，

∴OE+AE+OF+CF=(OE−OF)+(AE+CF)+2，

∴即OF=2−OF,

∴OF=1，

∵在Rt△COF中，CO=2，

∴CF=，

又∵=1，

∴,即OE=，AE=1，

∴BG=，CG=1，

∴FG=CG+CF=1+=OH,BH=BG−OF=−1，

∴B(1+,−1).