Question

如图，已知矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，双曲线y＝（k＞0与矩形两边AB、BC分 别交于点D、E，且BD＝2AD﹒

（1）求此双曲线的函数表达式及点E的坐标；

（2）若矩形OABC的对角线OB与双曲线相交于点P，连结PC，求△POC的面积﹒

Answer

（1）y=, E(4,1)； (2)S△OPC=2

【解析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；

（2）先由点B的坐标得出OB的解析式，接着算出P的纵坐标，即可得出三角形OPC的面积.

（1）∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD=，
又∵OA=3，所以D（，3），∵点D在双曲线y＝上，所以k=×3=4．
∵四边形OABC为矩形，∴AB=OC=4，∴点E的横坐标为4．
把x=4代入y＝中，得y=1，所以E（4，1）．

（2）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，AB＝4.

∴BC=OA=4,

∴B（4,3）.

设直线OB的解析式为：y＝.

∵点P在双曲线y＝和直线y＝上.

∴，解得：或.

∵点P在第一象限，∴P的坐标为（）.

∴S△POC==2.