Question

在平面直角坐标系中，点A（m，m）在第一象限，且实数m满足条件：，ABy轴于B，ACx轴于C

（1）求m的值；

（2）如图1，BE=1，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，D在AO上，且AD=AE，连接ED并延长交x轴于点P，求点P的坐标；

（3）如图2，G为线段OC延长线上一点，AC=CG，E为线段OB上一动点（不与O、B重合），F为线段CE的中点，若BF⊥FK交AG于K，延长BF、AC交于M，连接KM．请问∠FBK的大小是否变化？若不变，请求其值；若改变，求出变化的范围．

   

Answer

（1）7；（2）P（3，0）；（3）∠FBK的大小不变，为45°，理由见解析.

【解析】

（1）由有意义可得m≥4，从而得到，然后根据条件就可求出m的值．

（2）过点D作DH⊥x轴于点H，根据全等三角形的性质及勾股定理，就可得到点P的坐标．

（3）过K作KN⊥AC于N，KT⊥BA延长线于T．易证四边形ATKN是正方形，则有KT=KN，∠MTN=90°．易证△BEF≌△MCF，则有BF=MF，根据垂直平分线的性质可得KB=KM，从而可证到△TBK≌△NMK，进而得到答案．

（1）由得 ， ，

∴ ，

原式化为：，

∴，

.

（2）由（1）得A（7，7），

∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，

∴AE=AC=7，

∴四边形ABOC为正方形，

∴BO=OC=7，∠BAC=90°，∠BOA=45°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴BE=CF，AE=AF，

∴∠AEF=45°，

∵AD=AE，

∴∠AED=∠ADE，

∴∠AEF+∠FEP=∠EOA+∠OEP，

∴∠OEP=∠FEP ，

过P作PH⊥EF于H，

∴OP=PH，

∴EO=EH，

在Rt△EOF中，EO=BO－BE=6，OF=OC＋CF=8，

∴EF= ，

设OP=PH=x，

在Rt△HPF中，HF=10－6=4，PF=8－x，

，即，

解得 ，

∴P（3，0）；

（3）∠FBK的大小不变，为45°。理由如下：

∵有正方形ABOC，

∴BO∥AC, ∠BAC=∠ACO=90°，

∴∠EBF=∠CMF，∠BEF=∠MCF，

∵F为EC中点，

∴EF=CF，

∴△BEF≌△MCF（AAS），

∴BF=MF ，

∵BF⊥FK，

∴KB=KM ，

过K作KN⊥AC于N，KT⊥BA延长线于T，

∴∠T=∠KNM=90°，

∴四边形TANK为矩形，

∵AC=CG，

∴∠ANK=45°，

∴AN=NK，

∴矩形TANK为正方形，

∴TK=NK，

∴△TBK≌△NMK ，

∴∠TBK=∠NMK，

∴∠BKM=∠BAM=90°，

∴∠KBM=45°.