Question

如图，正方形ABCD的边长为2，E在正方形外，DE=DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH、EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是（    ）

①∠DAE=∠DEA；②∠DMC一定为45°；③；④若PD=3AD，则MD=

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4

Answer

C

【解析】根据正方形的性质，利用全等的判定和性质、相似的判定和性质、垂直平分线的判定性质、勾股定理等知识对四个结论一一判断即可.

在正方形ABCD中，

AD=DC，

∵DE=DC，

∴AD=DE，

∴∠DAE=∠DEA，

∴①正确；

∵AD=DE，DH⊥AE，

∴DM是AE的垂直平分线，

∴AM=EM，

∴△AMD≌△EMD，

∴∠MAD＝∠MED，

∵DE=DC，

∴∠DCE＝∠MED，

∴∠MAD＝∠DCE，

即∠MAH+∠DAH=∠DME+∠CDM

∵∠DAH+∠ADH=90°，

∠CDM+∠ADH=90°，

∴∠DAH=∠CDM，

∴∠MAH=∠DME，

∵AM=EM,

∴∠MAH=∠MEH，

∴∠DME=∠MEH，

∵DH⊥AE，

∴∠DME=∠MEH=45°，

故②正确；

在EP上截取EN＝MC，则△DCM≌△DEN，

∴∠DNM=∠DME=45°，

∴△DMN是等腰直角三角形，

∴，

∵MN=ME+EN=AM+MC，

∴，

故③正确；

∵PD=3AD,AD=2,

∴PD=6,PA=8,

∵DM是AE的垂直平分线，

且∠DME=45°，

∴∠AMP=90°，

∴△PDC∽△PMA，

∴,

在Rt△PDC中， PC==2,

在Rt△PAM中，AM=,PM=,

∴CM=,

∵,

∴DM==.

故④错误.

故选C.