Question

如图，AB为⊙O的直径，CO⊥AB于O，D在⊙O上，连接BD，CD，延长CD与AB的延长线交于E，F在BE上，且FD=FE．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）2．

【解析】试题（1）连结OD，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，则可根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）连结AD，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，又因为∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，则∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，得到=，在Rt△ABD中，根据正切的定义得到tan∠A=tan∠BDF==，于是可计算出DF=2，从而得到EF=2．

试题解析：（1）连结OD，如图，∵CO⊥AB，∴∠E+∠C=90°，∵FE=FD，OD=OC，∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，∴∠FDE+∠ODC=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，∴FD是⊙O的切线；

（2）连结AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠A+∠ODB=90°，∵∠BDF+∠ODB=90°，∴∠A=∠BDF，而∠DFB=∠AFD，∴△FBD∽△FDA，∴=，在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF==，∴=，∴DF=2，∴EF=2．