Question

如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．

（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；

（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题（1）根据等腰三角形的性质，可得OA，根据角平分线的性质，可得OE，根据切线的判定，可得答案；（2）根据锐角三角函数，可得OB的长，根据勾股定理，可得OA的长，根据三角形的面积，可得OE的长．

试题解析：（1）证明：如图1，

作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∵AB=AC，O为BC的中点，

∴∠CAO=∠BAO．

∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∴OD=OE，

∵AB经过圆O半径的外端，

∴AB是半圆O所在圆的切线；

（2）cos∠ABC=，AB=12，得OB=8．

由勾股定理，得AO=4．

由三角形的面积，得S△AOB=AB•OE=OB•AO，

∴OE==，

即半圆O所在圆的半径是．