Question

如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED=45°．

（1）求证：CD∥AB；

（2）填空：

①若DF=AP，当∠DAE=　   　时，四边形ADFP是菱形；

②若BF⊥DF，当∠DAE=　   　时，四边形BFDP是正方形．

Answer

（1）证明见解析；（2）① 67.5°,②90°.

【解析】

试题（1）连接OD，根据切线的性质可得OD⊥CD，再由圆周角定理可得∠AOD=90°，即可得证；

（2）①根据菱形的性质和等腰三角形的性质求得∠ADP，在△ADE中利用三角形的内角和定理求得∠DAE的度数即可；

②判断四边形BFDP是正方形时，当DE是⊙O的直径即可求得∠DAE.

试题解析：（1）连接OD，∵射线DC切⊙O于点D，

∴OD⊥CD，

∵∠AED ＝ 45°，

∴∠AOD ＝ 2∠AED ＝ 90°，

即∠ODF ＝ ∠AOD ，

∴CD∥AB；

（2）①∵四边形ADFP是菱形，∴AD=AP，

∵在Rt△AOD中，OA=OD，∴∠DAO=45°，∴∠ADP=∠APD=（180°-45°）÷2=67.5°，

∴在△ADE中，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-67.5°-45°=67.5°，

故答案为：67.5°；

②当BF⊥DF，DE⊥AB是四边形BFDP是正方形，

由题意可知，DE⊥AB时，DE经过⊙O的圆心，∴DE是⊙O的直径，∴∠DAE=90°，

故答案为：90°.