Question

问题背景：数学活动课上老师出示问题，如图1，有边长为a的正方形纸片一张，三边长分别为a、b、c的全等直角三角形纸片两张，且．请你用这三张纸片拼出一个图案，并将这个图案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出a、b的值等等）．

解决问题：

         

下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．   

（1）“爱心”小组提出的问题是：如图2，将△DFC绕点F逆时针旋转，使点D恰好落在AD边上的点D′处，猜想此时四边形AEFD′是什么特殊四边形，并加以证明；   

（2）“希望”小组提出的问题是：如图3，点M为BE中点，将△DCF向左平移至DF恰好过点M时停止，且补充条件a=6，b=2，求△DCF平移的距离．

自主创新：   

（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图4的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图，并在横线处写出你提出的问题．（不必解答）

你提出的问题：________．

Answer

.

【解析】

模仿（1）和（2）提出：当a=6，b=2时，点M，N分别为AD，BC中点，将△MNF沿CB方向移动，使点M落在点A处时，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面积．

（1）证明：作FG⊥AD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，

∴四边形GFCD是矩形，

∴GD=FC=b，

∴FD=FD′，

∴D′G=DG=b，

∴AD′=AD﹣2DG=a﹣2b，

∵BE=FC=b，

∴EF=BC﹣2FC=a﹣2b，

∴AD′=EF，

∵AD′∥EF，

∴四边形AEFD′是平行四边形

（2）【解析】
由平移知，∠C′D′F′=∠CDF=∠EBC，

∵∠C′D′F′+∠BF′M=90°，

∴∠MBF′+∠BF′M=90°，

∴∠BMF′=90°，

由勾股定理得，BE==2，

∵点M为BE中点，

∴BM=， 

∵∠BMF′=∠BCE，∠MBF′=∠CBE，

∴△BMF′∽△BCE，

∴ ，

∴，

∴BF′=，

∵BF=BC+CF=8，

∴F′F=BF﹣BF′=，

∴△DCF平移得距离为；

（3）提出的问题：

当a=6，b=2时，点M，N分别为AD，BC中点，将△MNF沿CB方向移动，使点M落在点A处时，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面积．

如图，

∵MN=BC=b=6，NF=BF′=a=2，

∴FC=BE=F′N=1，

∴EF′=1，

∴EH=F′H=EF′=，

∵GH∥AB，

∴

∴ ，

∴GH= ，

∴S△GEF′=×EF′×GH=.