Question

抛物线经过点A（-1,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0,4）.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；

(3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）点P坐标为（2,6）；（3）Q点坐标为（，-)或（，）.

【解析】（1）把A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c中，求出a、b、c的值即可；

（2）设P点坐标为（x，-x2+3x+4），根据四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP以及四边形COBP的面积=2S△COB求解即可；

(3)分AQ和AN分别为对角线时进行讨论可得解.

（1）把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得，

,

解得：

故抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；

（2）设P点坐标为（x，-x2+3x+4），如图，

∴四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP==-2x2+8x+8

∵直线BC平分四边形COBP的面积

∴四边形COBP的面积=2S△COB

即：-2x2+8x+8=

解得x=2

将x=2代入抛物线表达式得y=6

故点P坐标为（2,6）

(3)存在

①当AQ为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为，

故Q（）

②当AN为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为，

故Q（）

综上所述，Q点坐标为（)或（）