Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD, AH⊥BC于点H，E是CD的中点，连接AE、 BE、HE.

（1）求证： AE⊥BE

（2）求证：∠DEH=3 ∠ EHC

Answer

证明见解析

【解析】（1）分别延长AE、BC交于点G，由角边角可证∆AED≌∆GEC，由全等三角形的性质可得AD=CG，AE=GE，即∆ABG是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得BE⊥AE；

（2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得HE=GE，由等边对等角得∠EHG=∠G，由平行四边形的性质得到AB=2AD由等边对等角证得∠CEG=∠G，即可得证.

(1)分别延长AE、BC交于点G，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC，AD//BC.

∴∠D=∠ECG

又∵E是CD的中点，

∴DE=CE，

又∵∠AED=∠GEC，

∴∆AED≌∆GEC，

∴AD=CG，AE=GE，

又∵AB=2AD，

∴AB=BC+CG=BG

∴BE是等腰三角形ABG底边上的中线

∴BE⊥AE.

(2)∵AH⊥BC,AE=GE..

∴HE是RtAHG斜边AG上的中线

∴HE=GE

∴∠EHG=∠G

∵四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD

∴AB=CD=2AD

又∵E是CD的中点，AD=CG

∴AB=CD=2CE=2CG，即CE=CG

∴∠CEG=∠G

∴∠CEG=∠AED=∠G=∠EHG.

∵∠CEG=∠AED，∠AEH=∠G+∠EHG，∠DEH=∠AED+∠AEH

∴∠DEH=∠AED+∠G+∠EHG =3∠EHC.