Question

在△ABC中，∠BAC=45°，若BD=2，CD=3，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．

(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．

(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求四边形AEMF的面积.

Answer

（1）四边形AEMF是正方形；（2）36

【解析】（1）根据折叠的性质可得到∠1=∠3，∠2=∠4，AE=AE，由∠BAC=45°可判断出∠EAF的度数，进而可判断出四边形AEMF的形状；
（2）由图形翻折变换的性质可知，BE=BD，CF=CD，设正方形AEMF的边长是x，在Rt△BMC中利用勾股定理可求出x的值，由正方形的面积公式即可求出其面积．

（1）如图，

∵ADBC

△AEB是由△ADB折叠所得

∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD, AE=AD

又∵△AFC是由△ADC折叠所得

∴∠2=∠4，∠F=∠ADC==90°，FC=CD，AF=AD

∴AE=AF

又∵∠1+∠2=45°，

∴∠3+∠4=45°

∴∠EAF==90°

∴四边形AEMF是正方形。

（2）设AD=x，则正方形AEMF的边长为

根据题意知：BE=BD=2, CF=CD=3

∴BM=; CM=

在Rt△BMC中,由勾股定理得：

∴

解之得：， (舍去)

∴