Question

在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．

（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；

（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）EG=AG﹣BG，理由见解析．

【解析】试题（1）如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证△ABG≌△AEH ，再判定△AGH是等边三角形，即可得结论；（2）EG=AG-BG，如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，类比（1）的方法证明△ABG≌△AEH，再判定△AGH是等腰直角三角形，即可得结论.

试题解析：

如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H

∴∠GAB=∠HAE

∵∠EAB =∠EGB,∠APE=∠BPG

∴∠ABG=∠AEH

又∵AB=AE

∴△ABG≌△AEH

∴BG=EH,AG=AH

∵∠GAH=∠EAB=60°

∴△AGH是等边三角形

∴AG=GH

∴EG=AG+BG

(2) EG=AG-BG,

如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H

∴∠GAB=∠HAE

又∵∠EGB=∠EAB=90°

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°

∴∠ABG=∠AEH

又∵AB=AE

∴△ABG≌△AEH

∴BG=EH,AG=AH

又∵∠GAH =∠EAB=90°

∴△AGH是等腰直角三角形

∴AG=HG

∴EG=AG-BG