Question

如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝5，高AD＝4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）当矩形EFPQ为正方形时，求正方形的边长；

（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速向右运动（当矩形的顶点Q到达C点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer

（1）当矩形EFPQ为正方形时，边长为 ；（2）当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5；（3）当0≤t≤时，S =5-2t2；当＜t＜2.5时，S＝-2t；当2.5≤t≤3时，S＝2t2-12t+18

【解析】（1）由条件可得，即，计算即可.
（2）可利用用x表示出EH．表示出矩形EFPQ的面积，利用二次函数可求得其最大值；
（3）分0≤t≤，，2.5≤t≤3三种情况进行讨论即可.

(1)∵四边形EFPQ为矩形，

∴EF∥BC，

，

即，

解得

∴当矩形EFPQ为正方形时，边长为.

即当x为时，矩形EFPQ为正方形；

（2）∵∠B=45°，

∴，

∴

∵EF∥BC，

∴△AEH∽△ABD，∴，

∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，

∴，即，∴，

已知EF=x，则EH=．

∵∠B=45°，

∴=4﹣．

S矩形EFPQ

∴当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．

（3）如图①，当0≤t≤时

设EF交AC于M点，FP交AC于N点，

∵△MNF∽△CAD，

∴，

即，

∴FN=4t ，

∴S=5-t·4t，

=5-2t2

如图②，当时

设EF交AC于M点，过C作CN⊥EF于N点，

∵△CNM∽△ADC

∴，

即，

∴MN=，

∴FN=t-，

∴S=5-（t-+t），

=-2t ，

如图③，当2.5≤t≤3时

设EQ交AC于N点，

∵△CQN∽△CDA

∴，

即，

∴NQ=12-4t，

∴S=(3-t)(12-4t)

=2t2-12t+18