Question

如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x－2）²＋k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，k的值；

（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小，若存在，求出△ABM的周长；若不存在，请说明理由；

（3）若以AB为直径画圆，与抛物线的对称轴交于点N，求出点N坐标．

Answer

（1）a，k的值分别为1，﹣1；（2），理由见解析；（3）点N的坐标为（2，2）或（2，1）

【解析】（1）由条件可先求得A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、k的值；
（2）由A、C关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点M，则M即为所求，由B、C可求得直线BC的解析式，可求得M点的坐标，容易求得其周长；
（3）可设N点坐标为（2，n），可分别表示出AB、AN、BN的长，由勾股定理可得到关于n的方程，可求得N点坐标．

（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，

∴A（1，0），B（0，3）．

又∵抛物线抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），

∴

解得

故a，k的值分别为1，﹣1；

（2）如图1，存在这样的点M.连接BC与对称轴x=2的交点即为M点，这时△ABM的周长最小.

由抛物线对称性可得，点C坐标为（3，0），

△ABM的周长＝AB+AM+BM

＝AB+BC

＝；

（3）如图2，由题意，可设N点的坐标为（2，n），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．

∵AB为所作圆的直径，N为所作圆与直线x=2的交点，

∴∠ANB=90°.

在Rt△ANF中，AN2=AF2+NF2=1+n2，

在Rt△BNE中，BN2=BE2+EN2=4+（3﹣n）2，

由勾股定理，得到方程1+n2+4+（3﹣n）2=12+32，

化简，得n2﹣3n +2=0，

解得 n1=2，n2=1，

∴点N的坐标为（2，2）或（2，1）．