Question

如图，⊙O的直径AB为2cm，弦BC为1cm，∠ACB的平分线与⊙O交于点D，与AB交于点E，P为AB延长线上一点，连接PC，且PC＝PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

(1)AC= cm,AD=;(2) 直线PC与⊙O相切，理由见解析

【解析】（1）连接BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=∠ADB=90°，则可利用勾股定理计算出 由CD平分∠ACB得 根据圆周角定理得 则为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出的长；
（2）连接OC，由PC=PE，得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC=∠CAE+∠ACE，根据CD平分∠ACB，得到∠ACE=∠ECB，∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，于是根据切线的判定定理可得PC为的切线．

（1）①如图，连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在中，

AC=== cm，

②∵CD平分∠ACB，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是直角等腰三角形，

（2）直线PC与⊙O相切，

理由：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，

OC⊥PC，

∴直线PC与⊙O相切．