Question

如图，ΔABC中，AB=AC，∠A=40^O，延长AC到D，使CD=BC，点P是ΔABD的内心，则∠BPC=   

A. 105°    B. 110°    C. 130°    D. 145°

Answer

D

【解析】

试题已知P为△ABD的内心，则P点必在∠BAC的角平分线上，由于AB=AC，根据等腰三角形的性质可知：P点必在BC的垂直平分线上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC的度数．等腰△ABC中，已知了顶角∠A的度数，可求得∠ABC、∠ACB的度数；由于CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度数；由于P是△ABD的内心，则PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度数，根据∠PBC=∠PBD-∠CBD可求出∠PBC的度数，由此得解．

试题解析：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；

∴∠ABC=∠ACB=70°；

∵P是△ABD的内心，

∴P点必在等腰△ABC底边BC的垂直平分线上，

∴PB=PC，∠BPC=180°-2∠PBC；

在△CBD中，CB=CD，

∴∠CBD=∠D=∠ACB=35°；

∵P是△ABD的内心，

∴PB平分∠ABD，

∴∠PBD=∠ABD=（∠ABC+∠CBD）=52.5°，

∴∠PBC=∠PBD-∠CBD=52.5°-35°=17.5°；

∴∠BPC=180°-2∠PBC=145°．

故选D．