Question

神奇的数学世界是不是只有锻炼思维的数字游戏？每天都在面对繁杂的数字计算？答案当然是否定的，曼妙的数学畅游在迷人的数字和丰富多彩的图形之间，将数与形巧妙地融汇在一起，不可分割.我们都知道，实数与数轴上的点一一对应，数轴上的线段可以由端点所对应的实数确定，这是一维的数与形；增加到两条数轴，可以形成平面直角坐标系，这样有序数对与平面内的点一一对应，平面内的多边形及其内容可以由多边形的边上所有点的坐标所确定，这是二维的数与形.而在平面直角坐标系中的图形更是神秘，在平面内任意画一条（或多条）曲线（或直线），它（们）把平面分割成的部分都称为区域，特别地，如果曲线首尾相接，那么形成的有限部分也称为封闭区域.如何研究这些区域呢？当然离不开数，我们可以通过区域内点的坐标规律来刻画图形.反过来，我们也可以根据点坐标的规律在平面直角坐标系内找到它们，画出相应的图形.聪明的你看懂了吗？试着做做看.

（1）分别解不等式和，并把不等式的解集画在同一个数轴上；

（2）点P（x,y）在平面直角坐标系的第一象限，并且横坐标与纵坐标分别满足不等式和，请画出满足条件的点P所在的最大区域，并求出区域的面积；

（3）去掉（2）中“点P在第一象限”这个条件，其余条件保持不变，求满足条件的点P所在最大区域与平面直角坐标系第二、四象限角平分线所围成封闭区域的面积.

Answer

（1）见解析（2）2（3）4.5

【解析】（1）分别求出每一个不等式的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可得；

（2）分别求出每一个不等式的解集，然后在平面直角坐标系中表示解集，即可得到满足条件的封闭区域，问题得解；

（3）分别求出每一个不等式的解集，然后在平面直角坐标系中表示解集，即可得到满足条件的封闭区域，问题得以解决.

（1）解不等式 得：，

解不等式得：，

把解集在数轴上表示如图所示：

（2）解不等式 得：，

解不等式得：，

由题意则有点P（x，y）在平面直角坐标系的第一象限，且满足x≤2，y≤1，

则所求区域为图中阴影部分，面积为2；

（3）解不等式 得：，

解不等式得：，

由题意则有点P（x，y）在平面直角坐标系内，且满足x≤2，y≤1，

则满足条件的封闭区域为图中阴影区域，面积为4.5.