Question

如图，在四边形中，， 交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点.

（1）求的值；

（2）若，求证：四边形是矩形.

Answer

（1） （2）证明见解析

【解析】分析: （1）根据AB∥CD，得到∠ABE=∠EDC.证明△ABE∽△FDE.得到.进一步说明AB=DF.再证明△ABG∽△CDG，.

根据AB∥CF，AB=CF，证明四边形ABCF是平行四边形. 证明∠CFA=90°.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明..

（1）∵ AB∥CD，

∴ ∠ABE=∠EDC.

∵ ∠BEA=∠DEF，

∴ △ABE∽△FDE.

∴ .

∵ E是BD的中点，

∴ BE=DE.

∴ AB=DF.

∵ F是CD的中点，

∴ CF=FD.

∴ CD=2AB.

∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，

∴ △ABG∽△CDG.

∴ .

（2）证明：∵ AB∥CF，AB=CF，

∴ 四边形ABCF是平行四边形.

∵ CE=BE，BE=DE，

∴ CE=ED.

∵ CF=FD，

∴ EF垂直平分CD.

∴ ∠CFA=90°.

∴ 四边形是矩形.